提起平行線，大家都不陌生——兩段平行延伸的鐵軌、黑白相間的斑馬線，這都是生活中可以觀察到的平行線，在文學作品中我們也會看到這樣的描述：" 兩個人就像平行線一樣，永遠沒有交集 "。

在我們的印象中，平行線具有永不相交的性質。但有人卻說：" 平行線在無窮遠點交于一點 "。

那平行線之間到底有沒有交點？它們到底會不會在無窮遠點相遇呢？

圖 1 平行鐵軌

圖片來源：百度百科

要弄明白這個問題，我們需要先了解平行線永不相交這個說法是怎么來的。

Part.1

平行線誕生于平面幾何第五公理

古希臘數學家，幾何學之父歐幾里得在研究幾何學的時候，發現了有些幾何學知識屬于經由人類長期反復的實踐表明正確，不需要由別的知識推出。于是歐幾里得在《幾何原本》中給出了五大公理 [ 1 ] ，并以此為基礎構建了幾何學體系。這五大公理為：

公理 1：任意一點到另外任意一點可以畫直線

公理 2：一條有限線段可以繼續延長

公理 3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓

公理 4：凡直角都彼此相等

公理 5：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小于二直角的和，則這兩條直線經無限延長后在這一側相交。

在五大公理中，前四個看著都比較簡潔明了，第五公理則相對啰嗦。

后來的研究推導表明，第五公理與以下兩個說法等價——一是，三角形的內角和為 180 度；二是，過直線外一點，有且僅有一條直線不與該直線相交。

而第二個說法中兩條永遠不相交的直線則被稱作平行線。這便是平行線永不相交這一說法產生的原因。也正因為第五公理與平行相關，該公理又被稱為平行公理。

Part.2

非歐幾何 VS 平行公理

從平面幾何第五公理提出以來，數學家們就開始思考一個問題：這一公理能否被別的公理替代？

19 世紀，高斯、巴切夫斯基、波爾約等人各自獨立嘗試了使用不同的平行公理。最終根據過直線外一點能做幾條直線與已知直線平行，形成了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何兩大新的幾何體系。

因為這兩大體系與歐幾里得幾何學不同，所以又被統稱為 " 非歐幾何 "。

羅巴切夫斯基幾何，簡稱為羅氏幾何，認為過直線外一點至少能做出兩條直線與已知直線平行。

圖 2 羅氏幾何

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圖 2 所示的雙曲面形象地展示了這一情況。在一個雙曲面上，因為空間的彎曲，過直線外一點可以畫出好幾條與已知直線平行的直線。

因為這一幾何描繪的是雙曲面空間中的情況，所以也被稱為 "雙曲幾何"。

在這樣的雙曲空間中，過直線外的一點，可以做出多條直線與已知直線平行。此外，在雙曲空間中任意做出一個三角形，三角形內角和小于平面幾何中的內角和（180°）。

黎曼幾何，則假定過直線外一點不存在與已知直線平行的直線。羅氏幾何考慮的是雙曲面中的幾何學，黎曼幾何考慮的則是橢圓空間中的幾何學。

因此，黎曼幾何也被稱為 "橢圓幾何"。

圖 3 黎曼幾何

圖片來源：百度圖片

圖 3 形象地展示了黎曼幾何的特點。在一個橢圓空間中，三角形內角和小于 180 度。并且因為橢圓空間中所有直線都經過橢圓空間最頂端的無窮遠點，過直線外一點做不出已知直線的平行線。

這也是我們常說的 " 平行線交于無窮遠點 " 這一說法的來源。

實際上，按照幾何學的定義，當我們使用黎曼幾何研究問題的時候，所有直線交于無窮遠點，也就不存在平行線的概念了，因為在數學的定義上，稱為平行線，就必須是同一平面內永遠不相交的直線。

從這個角度講，" 平行線交于無窮遠點 " 是一個數學上的偽命題，但卻具有一定的藝術價值。

Part.3

非歐幾何有何應用價值？

平面幾何在我們的實際生活中有著非常大的應用價值。小到機械制造，大到地理信息測量，都離不開平面幾何的計算。這也是為什么我們從小到大學習的都是平面幾何。

那非歐幾何就是數學家們拍腦袋拍出來的嗎？非歐幾何有沒有應用價值呢？

答案是肯定的。

非歐幾何在特定的空間、特定的問題中具有很高的應用價值。

從上文中我們可以看到，非歐幾何主要用來研究雙曲空間、橢圓空間這兩種非平面空間中的幾何學問題。而非平面空間在我們的實際生活中也是廣泛存在的。

非平面空間的出現，最常見的有兩種情況：

第一種情況是大質量天體導致的空間扭曲。

根據廣義相對論的相關理論，在大質量天體附近，空間會發生較為明顯的彎曲。在日常生活中我們會發現，如果將一個重球放在支起來的布上，重球就會將布料壓彎。

而在宇宙中，大質量天體就是產生壓迫的重球，空間結構就是支起來的布料，最后就會像圖 4 一樣，在大質量天體的周圍，產生一定的空間彎曲。

圖 4 大質量天體產生明顯空間彎曲

圖片來源：百家號

在這樣的彎曲空間中進行宇宙航行時，平面幾何的相關知識就不再適用，反而是非歐幾何有了用武之地。單個天體產生的空間彎曲接近橢圓面，而多個天體則可能在交界區域產生接近于雙曲面的彎曲空間。

如果人類有一天邁向宇宙的星辰大海，根據非歐幾何計算清楚彎曲空間中的幾何關系，是實現宇宙航行必不可少的技術。

第二種非平面空間是生存平面本身存在易忽視的曲率。

我們生活的地球，其實本身就是一個橢球面。當我們在太空中觀察地球時，很容易發現地球表面存在彎曲。這時候對于地球中幾何關系，就可以通過空間立體平面幾何進行分析。

但是如果我們只在大地上進行觀測，無法獲得太空中的視角，那地球表面這個二維空間中的幾何關系，其實就符合橢圓幾何的相關性質。

基于地球表面的這種特點，黎曼幾何可以被用于地球表面的度量之中。通過基于黎曼幾何的方法，對于地球表面的測地線進行研究，" 測地幾何 " 這一門學科就建立起來了。

因此，在地球表面研究地理信息、航空航海等問題時，非歐幾何中的黎曼幾何就有著很高的應用價值。

最后，回到我們最開始的問題，平行線本身的數學定義就是沒有交點的，平行線也不會在無窮遠點相遇。只是在黎曼幾何中，兩條看上去 " 平行 " 的直線會在無窮遠點相遇，但它們實質上不屬于平行線。

雖然平行線注定不會相遇，但是對平行線和平面幾何第五公理的研究，卻產生了羅氏幾何、黎曼幾何等非歐幾里得幾何學，并在各方各面有著廣泛的應用。數學研究很多時候都是這樣，看上去奇思妙想的 " 無用之舉 "，最后反而在實際生活中找到了妙用。